Laufzeitkomplexität

Auf einer Datenmenge bestehend aus n Elementen muss der BubbleSort n Durchläufe durchführen. Die Anzahl der zu untersuchenden Elemente ist abhängig vom aktuellen Durchlauf. So müssen beim ersten Durchlauf n - 1 Elemente untersuchtwerden, beim zweiten Druchlauf nur noch n - 2 Elemente, beim dritten nur noch n - 3 usw.

Es kann also die bekannte Gaussche Formel $\frac{n\times(n~+~1)}{2}$ zur Berechnung der natürlichen Zahlen von 1 bis n angewandt werden. Hier ist n allerdings n - 1. Eingesetzt und aufgelösst ergibt sich somit $\Rightarrow~\frac{n^2~-~n}{2}$; eine Anzahl der Arbeitsschritte für den einfachen BubbleSort. Da jedoch die quadratische Komponente der Formel überwiegt und bei grossen n massgebend ist, wird bei der Angabe der Laufzeitkomplexität eines Algorithmus nur die entscheidende Grösse angegeben. Um diese Vereinfachung der Angabe zu signalisieren, notiert man die Laufzeit in der O (sprich: BIG O) Notation. Fü den BubbleSort ergibt sich so eine Laufzeitkomplexität von $O(n^2)$.

Wie einige einfache Tests durch ein kleines C-Programm ergaben, spiegelt sich die Laufzeitkomplexitä in der folgenden Tabelle wieder. Die einzelnen Tests wurden immer auf der gleichen Datenmenge durchgeführt, sie wurde lediglich um weitere Elemente erweitert.

Elemente	Vergleiche	Tauschoperationen
5	10	4
10	45	22
100	4950	2464
1000	499500	243441
10000	49995000	25035918

Es ist zu beachten, dass diese Zahlen in anderen Implementierungen des BubbleSorts im Kleinen Abweichen koennen, jedoch bleibt der quadratische Zusammenhang der Vergleiche zu der Elementenanzahl. Die Tauschoperationen hängen vom konkreten Zustand der Datenmenge ab.

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